MAKALAH

SEGI BANYAK & LINGKARAN

MakalahinidisusununtukmemenuhitugasmatakuliahMatematika 2

DosenPengampu: Budiharti, S. Si

 

 

 

 

 

 

DisusunOleh:

UnggulBudiyanto (11144600098)

WahyonoHadi (11144600105)

DwiYuliSetiasih (11144600110)

Kelas A3’11

 

 

 

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA

2012

SegiBanyak&Lingkaran

 

Dari presentasisebelumnya, kitatelahmengenalgaris, sudut, dankurva. Dari pengertian-pengertiantersebutdalampembelajarankita kali iniakanmempelajaribangungeometridatar yang disebutsegibanyak.

Segibanyakadalahsuatukurvasederhanatertutupyang dibentukoleh (terdiriatas) segmengaris-segmengaris.Segmengaris-segmengaris yang telahmembentuksegibanyakdinamakansisi.Segibanyak paling sedikitmemilikitigasisidinamakansegitiga.Segibanyakdenganempatsisidinamakansegiempat.Segibanyakdenganlimasisidinamakansegilima, danbegituseterusnya. Apabilasisidansudutsegibanyakberukuransama, segibanyaktersebutdinamakansegibanyakberaturan.

Untuklebihjelasnya, cobaperhatikangambarberikut:

 

 
   

 

 

 

 

 

segitiga

 

 

 

 

 

segiempat

 

 

 

 

 

 

segilima

 

 

 

 

 

 

segienam

 

  1. A.      Segi-n beraturan
    1. 1.        Segi limaberaturan

Segi lima sepertidiuraikan di atasadalahsegibanyak yang memiliki lima sisi,  dimanasemuasisinyamemilikipanjang yang samadanseluruhsudutnyasamabesar (108°).

 

 

 

 

 

  1. 2.       Segienamberaturan

Suatusegienamberaturanadalahsuatusegienamdenganpanjangsisidanbesarsudutdalam yang sama. Sudutdalampadasegienamberaturanadalah 120°.Segienamberaturanmemilikienamsimetrigarisdan 6 simetriputar.Sejumlahsegienamdapatdisusunbersama-samadengancaramempertemukantigasegienampadamasing-masingsalahsatusudutnya.

 
   

 

 

 

 

 

 

 

           
     
 
     
   
 

 

 

 

 

 

Saranglebahmadusebagaicontohdarisegienam

 

  1. 3.       MenghitungLuasdanKelilingSegi-nBeraturan

Sebuah segi-n beraturan (n> 3) dapat dibuat dari segitiga sama kaki yang kongruen sebanyak n, karenanya luas segi-n beraturan adalah n kali luas segitiga sama kaki, yaitu:

L = n. LΔ

Sementara keliling segi-n beraturan adalah

                K = n . s

Dimana s adalah panjang sisi segi-n beraturan.

Sifat segi-n beraturan:

a)      Besar sudut pusat pada setiap segitiga,

b)     Besar sudut pada kaki setiap segitiga,

c)      Besar sudut tiap sisi,

Segi lima beraturan

Berdasarkan sifat-sifat segi-n beraturan, maka sebuah segi lima beraturan memiliki:

 

a)      Sudut pusat,

b)     Sudut kaki,

c)      Sudut sisi,

Untuk menghitung luas segilima beraturan, gunakan rumus:

                L = n . LΔ = 5 . LΔ

Misalnya kita tinjau segitiga ABP (lihat gambar). Luas segitiga ABC dapat dihitung dengan berbagai rumus, misalnya:

                LΔABP = ½ AB x PF

               

  1. B.      Lingkaran

Lingkaranmerupakanbentukkurvasederhanatertutup yang lainselainsegibanyak. Lingkaranadalahhimpunantitik-titikpadasuatubidang yang berjaraksama, darisuatutitik-titikpadasuatubidang yang berjaraksama, darisuatutitiktertentu. Titiktertentutersebutdinamakantitikpusatlingkaran.Segmengaris yang menghubungkantitikpusatdengansuatutitikpadalingkarandisebutjari-jarilingkaran (r).Diameter lingkaran (d)adalahsebarangsegmengaris yang melaluititikpusatdanbahwapanjang diameter lingkaraninimerupakandua kali lipatpanjangjari-jarilingkaran.

Ataudapatdilihatlebihdetiltentangunsur-unsurlingkaransebagaiberikut:

 

1)       Titik O disebutpusatlingkaran

2)      Garis OA, OB, OC, OD, OE dan OF disebutjari-jarilingkaran (r)

3)      Garis AD disebutgaristengahataudiameter (d), yaitugaris yang mengubungkanduatitikpadalingkarandanmelaluititikpusatlingkaransertamemilikidua kali lipatpanjangjari-jarilingkaran (d = 2r)

4)     Garislurus FB dan EC disebuttalibusur

5)      Garislengkung FB, FE dan EC disebutbusur

6)      Daerah yang dibatasiolehduajari-jarilingkarandansebuahbusur, misalnya OE, OF, danbusur EF disebutjuring

7)      Daerah arsiran yang dibatasiolehtalibusur EC danbusur EC disebuttembereng

8)      Garis OG (tegaklurus BC) disebutapotema, yaitujarakterpendekantaratalibusurdenganpusatlingkaran.

 

MenghitungLuaslingkaran

  1. 1.        Menentukannilai Pi (π)

Nilai Pi (π) merupakannilaiperbandingankelilingterhadap diameter lingkaran.Panjangseluruhtepisuatulingkarandisebutkelilinglingkaran.Berikutiniakanditentukannilaipendekatanuntukperbandinganantarakelilingdan diameter lingkaran.

 

  1. Gambardiatasmerupakanlingkaran yang berpusat di titik O danmemuatsegienamberaturan ABCDEF. Dari segienamberaturandibuat 6 segitiga yang kongruen, sehingga∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOE = ∠EOF = ∠FOA = 60°

Dalam ΔOAB, panjang OA = OB (=jari-jari), maka

∠OAB = ∠OBA

∠OAB + ∠OBA = 180° – 60° = 120°

Karena∠OAB = ∠OBA, maka

∠OAB = ∠OBA = 60°

Jadi, ∠OAB = ∠OBA = ∠AOB = 60° sehingga ΔOAB merupakansegitigasamasisidan AB = OA = OB = r

Kelilingsegitigaberaturan = 6r

 

Karenakelilinglingkaranlebihdarikelilingsegienamberaturanmaka:

 

Jadi,  pi (π) > 3

 

  1. Gambardibawahinimerupakanlingkarandengantitikpusat O danterdapat di dalamsegienamberaturan.

 

∠AOB = 60°, maka∠POB = 30° dan∠POQ = 60°

Karena OP = OQ, maka∠OPQ = ∠OQP

∠OPQ + ∠OQP = 180° – 60° = 120°

∠OPQ = ∠OQP = 60°

Jadi, ΔPOQ samasisi, sehingga OP = OQ = PQ = 2x

Perhatikan ΔPOB

 

               

   

   

   

   

 

   

Jadi, kelilingsegienamberaturan              = 6 x 2x

                                                                                                = 6 x 2 x 0,58r

                                                                                                = 12 x 0,58r

 

 

Jadi, pi (π) < 3, 48

 

Berdasarkanperhitungan (a) dan (b) dapatdisimpulkannilaidari pi (π):

 

 

Kemudiandilakukanbeberapa kali percobaandenganbesaranlingkaran yang berbeda-bedadalammencarinilaipendekatanuntukperbandingankelilingterhadap diameter lingkarandengancara:

1)       mencarikelilinglingkarandigambarpadakertas (didapatpanjangkelilinglingkaran),

2)      dipotonggambarlingkarannyadandilipatsehinggasalingmenutuptepat (didapat diameter lingkaran)

Sehinggadidapatkanperbandinganantarakelilingdengan diameter lingkaranataudisebutjugadengan pi (π), didapatkannilai rata-rata mendekatinilai 3,14 (pecahandesimal) atau (pecahan biasa).

 

  1. 2.       MenentukanRumusLuasLingkaran

Untukmenentukanrumuslingkaranrumusluaslingkarandapatdilakukandenganmenggunakanlangkah-langkahberikutini:

  1. Buatlahlingkarandengan r = 10 cm
  2. Bagilahlingkarantersebutmenjadi 2 bagian yang samadengancaramembuat diameter danberilahwarna yang berbeda.
  3. Bagilahlingkaranitumenjadijuring-juringdenganbesarsudutpusatmasing-masing 30°.
  4. Bagilahsalahsatujuring yang terjadimenjadiduabagian yang sama.
  5. Guntinglahlingkarantersebutsesuaidenganjuring-juring yang terjadi.
  6. Letakanpotongan-potongandarijuring-juringtersebutsecaraberdampingansepertigambardibawahini:

 

 

 

 

Ternyatahasildaripotongan-potonganjuring yang diletakansecaraberdampinganmembentukbangun yang menyerupaipersegipanjang.Jikajuring-juringlingkarannyamemilikisudutpusat yang semakinkecil, misalnya 15°, 10°, 5°, danseterusnya, makabangun yang terjadisangatmendekatibentukpersegipanjangdenganpanjang = ½ kali kelilinglingkaran, danlebar = jari-jarilingkaran, sehingga:

Luaslingkaran = luaspersegipanjang yang terjadi

                                 = panjang x lebar

                                 = ½ kelilinglingkaran x jari-jari

                                 = ½ x 2πr x r

                                 = πr x r

Luaslingkaran   =

Jadiluaslingkaran =

 

Contohsoal:

Hitunglahluaslingkaran yang panjangjari-jarinya 7 cm, untuk π =!

Jawab:

Jari-jari = 7 cm, maka r = 7

π  =

Luaslingkaran  = πr2

                                =   x 72

                                = 154     jadi L0= 154 cm2